В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза решается задача обращения двумерного преобразования Радона. Преобразованием Радона функции f(x, y) называется функция, определяемая равенством .

Обычно для восстановления функции двух переменных по ее интегралам вдоль прямых используется метод свертки и обратного проецирования. В этом методе формула обращения преобразования Радона записывается без явного использования обобщенных функций. Однако наиболее общий и естественный вид формулы обращения преобразования Радона приобретают при использовании аппарата обобщенных функций. Далее будет рассмотрено соотношение между методом обобщенных функций и методом свертки и обратного проецирования.

Перед изложением собственно численного алгоритма будет дан вывод формулы обращения, позволяющий естественным образом перейти к построению алгоритма.

В силу равенства

функция при любом фиксированном p определяется своими значениями при . Это позволяет нам перейти к функции

.

Здесь L(r, φ) - прямая, ортогональная лучу, имеющему угол φ ρ положительным направлением оси X, и отстоящая от начала координат на расстояние r (r 0), при r < 0 L(r, φ) - прямая, симметричная относительно начала координат прямой L(|r|, φ). Выразим f(x, y) через I(r, φ).

Поскольку

,

где - преобразование Фурье функции f, то, переходя к полярным координатам после элементарных преобразований интеграла по φ на интервале [π, 2π], οолучаем

.

Введем функцию S(z, φ), полагая

.

При фиксированном φ функция S(z, φ) εсть обратное одномерное преобразование Фурье от произведения и |r|. Для справедливо равенство

.

Обратное преобразование Фурье от |r| есть обобщенная функция v1/πz2. Переходя от преобразования Фурье произведения к свертке, получаем S(z,φ) = I(z,φ)(v1/πz2). Используя регуляризацию функции 1/z2 [19] приходим к выражению

. (1.5.1)

Таким образом, для f(x, y) справедлива формула

, (1.5.2)